\documentclass{ctexart}
\usepackage{amsmath, amssymb, float, tikz, gensymb, subfig}
\usetikzlibrary{intersections, calc, math}
\tikzset{
  dot/.style={
    circle, fill=black, inner sep=1pt, outer sep=0pt
  },
  dot label/.style={
    circle, inner sep=0pt, outer sep=1pt
  },
  % style for every pics named "right angle"
  pics/right angle/.append style={
    /tikz/draw, /tikz/angle radius=5pt
  }
}
\begin{document}
\section*{2022.01.12}
\noindent
（数）设$A,B,A+B$可逆，证明$A^{-1}+B^{-1}$可逆.

\noindent
（非数）设$A,B,A-B$可逆，证明$B^{-1}-A^{-1}=\left( B+B\left( A-B \right)^{-1} B \right)^{-1}$.

\noindent
（因式分解）在有理数域$\mathbb{Q}$上因式分解：$\left( 1 \right)x^4-7x^2+1,\left( 2 \right)x^4-6x^2+1$.

\section*{2022.01.11}
\noindent
（数）利用$ \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n < \mathrm{e} < \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^{n+1} $，
证明\[ \frac{k}{n+k}<\ln \left(1+\frac{k}{n} \right)<\frac{k}{n}, \]
并计算\[ \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{2^2} \right) \left( 1+\frac{1}{3^2} \right) \cdots \left( 1+\frac{1}{n^2} \right). \]

\noindent
（非数）求极限\[ \lim_{n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{1+2} \right) \left( 1-\frac{1}{1+2+3} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{1+2+3+\cdots+n} \right). \]

\noindent
（平面几何）如下左图，四边形$ABCD$是正方形，$\angle EAF=45\degree$.除去以正方形的两边为直角边的三角形外，找出以图中的三个点为顶点的等腰三角形，并加以证明.
\textbf{注：}不允许使用包括“尺规”在内的作图工具找点，并且所给出的结果必须是具体构造出的.

\noindent
（平面几何）下面右图中有\uline{\makebox[3em]}个与阴影部分三角形轴对称的格点三角形.

\begin{figure}[H]
  \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \tikzmath{ \a = .23em; };
      \coordinate (A) at (0,0);
      \coordinate (B) at (\a,0);
      \coordinate (C) at (\a,{-\a});
      \coordinate (D) at (0,{-\a});
      \coordinate (F) at (-25: {\a / cos(25)});
      \coordinate (E) at (-70: {\a / cos(20)});
      \draw (D)--(B)--(C)--(D)--(A)--(B)
            (E)--(A)--(F);
      \foreach \i/\angle in {A/135, B/45, C/-45, D/-135, E/-90, F/0}
        \node[dot, label={[dot label]\angle:$\i$}] at (\i) {};
    \end{tikzpicture}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \draw[step=1,help lines,color=black] (0,0) grid (3,3);
      \fill (0,0)--(1,0)--(1,3)--cycle;
    \end{tikzpicture}
  \end{minipage}
  \caption{2022.01.11 平面几何}
\end{figure}

\section*{2022.01.09}
\noindent
（数）利用Cauchy命题证明\[ \lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\mathrm{e}. \]\\
\textbf{Cauchy命题：}如果$\lim_{n\to \infty}a_n$存在，那么$\lim_{n\to \infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$存在，且二者相等.这里的极限存在允许为有限实数或定号无穷大.

\noindent
（非数）利用$ \lim_{n\to \infty}\left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=\mathrm{e} $，计算\[ \lim_{n\to \infty}\left( 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right)^n. \]

\noindent
（平面几何）$\triangle ABC$中，$AB=1, A = 96\degree, B = 54\degree$，求$AC$的长.要求结果不显含三角函数.

\section*{2022.01.08}
\noindent
（数）计算下面4阶文字（符号）行列式，要求结果在实数域上因式分解.
\[
\begin{vmatrix}
  x & y & -z & w\\
  y & -x & -w & -z\\
  z & -w & x & y\\
  w & z & y & -x
\end{vmatrix}.
\]

\noindent
（非数）计算4阶文字（符号）行列式，要求结果在实数域上因式分解.
\[
\begin{vmatrix}
  x & y & z & w\\
  y & x & w & z\\
  z & w & x & y\\
  w & z & y & x
\end{vmatrix}.
\]

\noindent
（初等数学）$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$，证明$a,b,c$中至少有一个是1.

\section*{2022.01.07}
\noindent
（数）已知数列$\{ a_n \}$如下，$b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$，判断$\{ b_n \}$的敛散性.若收敛，求出极限；反之，给出理由.
\[
  a_n = \begin{vmatrix}
    1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
    -1 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
    0 & -1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
    \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots & \vdots\\
    0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 & 1\\
    0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 1
  \end{vmatrix}_n.
\]

\noindent
（非数）计算$n$阶行列式
\[
  \begin{vmatrix}
    1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\
    2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1\\
    3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2\\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots & \vdots\\
    n-1 & n & 1 & \cdots & n-3 & n-2\\
    n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1
  \end{vmatrix}.
\]

\noindent
（思考题）如何将一个正方体分割为49个小正方体？（小正方体可以不全等.）

\section*{2022.01.06}
\noindent
（数）计算$n$阶行列式
\[
   \begin{vmatrix}
    1 & 1 & \cdots & 1\\
    1 & \binom{2}{1} & \cdots  & \binom{n}{1} \\
    1 & \binom{3}{2} & \cdots  & \binom{n+1}{2}\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    1 & \binom{n}{n-1}  & \cdots & \binom{2n-2}{n-1} 
  \end{vmatrix} .
\]

\noindent
（非数）计算$n$阶行列式
\[
   \begin{vmatrix}
    a & 0 & \cdots & 0 & 1\\
    0 & a & \cdots & 0 & 0\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
    0 & 0 & \cdots & a & 0\\
    1 & 0 & \cdots & 0 & a 
  \end{vmatrix} .
\]
\textbf{提示：}可以使用Laplace展开.

\noindent
（空间想象）现有25个全等的、棱长为1的正方体，它们堆叠起来形成的大几何体的表面积的最小值是\uline{\makebox[6em]}.

\section*{2022.01.05}
\noindent
（数）求极限
\[ \lim_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{1+2} + \cdots + \frac{1}{1 + 2 + \cdots + 2n} \right) = \lim_{n\to \infty} \left( 1+\sum_{m=1}^n \frac{1}{\sum_{i=1}^{2m}i} \right). \]

\noindent
（非数）利用$\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n \right)$存在的事实，证明
\[ \lim_{n\to \infty} \left( 1-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \left( -1 \right)^{n-1} \frac{1}{n} \right) = \ln 2. \]

\noindent
（不等式）设$\sum_{i=1}^n x_i = 0, \sum_{i=1}^n \left| x_i \right|=1, n \geqslant 2$，证明
\[ \left| \sum_{k=1}^n \frac{x_k}{k} \right| \leqslant \frac{1}{2} - \frac{1}{2n}. \]

\section*{2022.01.03}
\noindent
（数）证明 Bernoulli 不等式
\[ \prod_{i=1}^n \left( 1 + x_i \right) \geqslant 1 + \sum_{i=1}^n x_i \left( x_i \geqslant -1, 1 \leqslant i \leqslant n \right), \]
并指明取等条件.

\noindent
（非数）证明二元形式的 Bernoulli 不等式
\[ \left( A+B \right) ^n \geqslant A^n + n A^{n-1} B, \forall n \in \mathbb{N} = \{ 0,1,2,\cdots \}, A>0, A+B>0, \]
并指明取等条件. \textbf{提示：}可以利用上一题的结论.

\noindent
（平面几何）证明 Euler 定理：设 点$O, G, H$ 分别是 $\triangle ABC$ 的外心、重心、垂
心，则点 $G$ 落在线段 $OH$ 上，且 $OG = \frac{1}{2}GH$.

\section*{2022.01.02}
\noindent
（数）推广下题结论，并给出证明.

\noindent
（非数）对$a,b,c \in \mathbb{R^+}$，已知$\sqrt[3]{abc} \leqslant \frac{a+b+c}{3}$，证明
\[ \sqrt[3]{abc} \leqslant \sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}} \leqslant \frac{a+b+c}{3} .\]

\noindent
（思考题）小明有 51 颗糖果，爸爸妈妈要用它们玩一个游戏，并依据游戏的
胜负决定谁去洗碗。规则如下：两方轮流拿糖果，每人每次最多拿四颗糖果，
不许不拿，拿到最后一颗糖果算输.请给出妈妈必赢的方案.

\section*{2022.01.01}
\noindent
（数）设 $c > 1$，求序列$\sqrt{c}, \sqrt{c\sqrt{c}}, \sqrt{c\sqrt{c\sqrt{c}}}, \cdots$的极限.

\noindent
（非数）设 $a_1 = 3, a_n = 2a_{n-1}^2 - 1 \left( n > 1 \right)$，求序列 $ \{ x_n \} $ 的极限，其中
\[  x_n=\frac{a_n}{2^n a_1 a_2 \cdots a_{n-1}}. \]

\noindent
（平面几何）如下图，图中弧线是以点 $A, B$ 为端点的半圆，点 $C, D$ 在圆周
上，$AC$ 交 $BD$ 于点 $E$，$EF$ 垂直于 $AB$ 于点 $F$. 证明
\[ AD \cdot CB + AC \cdot BD = AB \cdot DF + AB \cdot CF. \]
\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \tikzmath{ \r = .45em; };
      \coordinate (A) at (180:\r);
      \coordinate (B) at (0:\r);
      \coordinate (C) at (60:\r);
      \coordinate (D) at (135:\r);
      \coordinate (E) at (intersection of A--C and B--D);
      \coordinate (F) at ($(A)!(E)!(B)$);
      \draw (B) arc (0:180:\r)
          (A)--(C)--(B)--(A)--(D)--(B)
          (E)--(F)
          (D)--(F)--(C);
      \foreach \i/\angle in {A/180, B/0, C/60, D/135, E/90, F/270}
          \node[dot, label={[dot label]\angle:$\i$}] at (\i) {};
    \end{tikzpicture}
    \caption{2022.01.01 平面几何}
\end{figure}
\end{document}